Sistem Bilangan

SISTEM BILANGAN

             A.    Pengertian

Sistem Bilangan atau Number System adalah Suatu cara untuk mewakili besaran dari suatu item fisik. Sistem Bilangan menggunakan suatu bilangan dasar atau basis (base / radix) yang tertentu. Dalam hubungannya dengan komputer, ada 4 Jenis Sistem Bilangan yang dikenal yaitu : Desimal (Basis 10), Biner (Basis 2), Oktal (Basis 8) dan Hexadesimal (Basis 16). Berikut penjelesan mengenai 4 Sistem Bilangan ini :

1.      Desimal

Desimal (Basis 10) adalah Sistem Bilangan yang paling umum digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Sistem bilangan desimal menggunakan basis 10 dan menggunakan 10 macam simbol bilangan yaitu : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Untuk menandakan apabila bilangan tersebut  termasuk bilangan biner adalah dengan menuliskan angka 10 kecil di sebelah kanan bawah bilangan yang dimaksudkan. Atau dapat dituliskan di dalam kurung.

 

 

                        Atau bisa ditulis seperti berikut,

	10932(10)          = 1 . 10000 + 0 . 1000 + 9 . 100 + 3 . 10 + 2 . 1                                                   = 1 . 104 + 0 . 103 + 9 . 102 + 3 . 101 + 2 . 100

 

2.      Biner

Biner atau “duo” yang berarti 2, banyak dipakai untuk sinyal elektronik dan pemrosesan data. Kekhususan sistem biner untuk elektronik yaitu bahwa sistem biner hanya mempunyai 2 simbol yang berbeda, sehingga pada sistem ini hanya dikenal angka “ 0 “ dan angka “1 “. Untuk menandakan apabila bilangan tersebut  termasuk bilangan biner adalah dengan menuliskan angka 2 kecil di sebelah kanan bawah bilangan yang dimaksudkan.

  

Dapat juga ditulis seperti berikut,

 10101  = 1 . 2⁴ + 0 . 2³ + 1 . 2² + 0 . 2¹ + 1 . 2⁰

                               = 1 . 16 + 0 . 8 + 1 . 4 + 0 . 2 + 1 . 1

                               = 21 ₍₁₀₎

                  Adapun cara dapat digunakan untuk mengubah desimal menjadi biner. Nilai desimalnya adalah 40₍₁₀₎.

        Penulisan angka biner dimulai dari bagian kiri bawah ke atas, jadi bilangan binernya dapat ditulis 101000₍₂₎.

3.   Oktal

Aturan pada sistem oktal ( lat. okto = 8 ) sama dengan aturan yang dipergunakan pada sistem bilangan desimal atau pada sistem bilangan biner. Pada bilangan oktal hanya menggunakan 8 simbol yaitu angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7 dan setiap nilai tempat mempunyai kelipatan 8 0, 8 1, 8 2, 8 3, 8 4, dst. Untuk menandakan apabila bilangan tersebut  termasuk bilangan biner adalah dengan menuliskan angka 8 kecil di sebelah kanan bawah bilangan yang dimaksudkan.

 

                     Atau dapat dituliskan seperti berikut,

	3174(8)            = 3 . 83 + 1 . 82 + 7 . 81 + 4 . 80                         = 3 . 512 + 1 . 64 + 7 . 8 + 4 . 1                         = 1660 (10)

 

4.      Heksadesimal

Hexadesimal (Basis 16), Hexa berarti 6 dan Desimal berarti 10 adalah Sistem Bilangan yang terdiri dari 16 simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15). Pada Sistem Bilangan Hexadesimal memadukan 2 unsur yaitu angka dan huruf. Huruf A mewakili angka 10, B mewakili angka 11 dan seterusnya sampai Huruf F mewakili angka 15. Untuk menandakan apabila bilangan tersebut  termasuk bilangan biner adalah dengan menuliskan angka 16 kecil di sebelah kanan bawah bilangan yang dimaksudkan atau dengan menuliskan huruf H di bagian paling kanan bilangan

   

      B.     Konversi Bilangan

Sistem bilangan desimal secara mudah dapat dirubah dalam bentuk sistem bilangan yang lain. Ada banyak cara untuk melakukan konversi bilangan, proses yang paling mudah dan sering digunakan untuk memindah bentuk bilangan adalah “ Proses Sisa “. Tabel di bawah memperlihatkan bilangan 0 sampai 22 basis 10 ( desimal ) dalam bentuk bilangan berbasis 2 ( biner ), berbasis 8 ( Oktal ) dan berbasis 16 ( Heksadesimal ).

Untuk memudahkan menkonversi sistem bilangan, dapat menggunakan tabel seperti berikut :

Decimal	Binary	Octal	Hexadecimal
0(10)	0(2)	0(8)	0(16)
1(10)	1(2)	1(8)	1(16)
2(10)	10(2)	2(8)	2(16)
3(10)	11(2)	3(8)	3(16)
4(10)	100(2)	4(8)	4(16)
5(10)	101(2)	5(8)	5(16)
6(10)	110(2)	6(8)	6(16)
7(10)	111(2)	7(8)	7(16)
8(10)	1000(2)	10(8)	8(16)
9(10)	1001(2)	11(8)	9(16)
10(10)	1010(2)	12(8)	A(16)
11(10)	1011(2)	13(8)	B(16)
12(10)	1100(2)	14(8)	C(16)
13(10)	1101(2)	15(8)	D(16)
14(10)	1110(2)	16(8)	E(16)
15(10)	1111(2)	17(8)	F(16)

C.    Penjumlahan dan Pengurangan

1.      Penjumlahan

Ada 4 kondisi dalam penjumlahan bilangan biner (0+0, 1+0, 0+1, 1+1) dimana :

·         0 + 0 = 0

·         1 + 0 = 1

·         0 + 1 = 1

·         1 + 1 = 0 (carry out 1)

Maksud dari carry out yaitu hasilnya tidak bisa memuat lebih dari 1 digit. Tetapi disimpan kedalam kolom sebelah yang lebih tinggi nilainya.

Contoh:

 Contoh 2 :

Berikut ini merupakan contoh penjumlahan dalam bentuk Octal dan Hexadecimal, untuk memudahkan dapat melihat tabel konversi.

                     

2.      Pengurangan

Kondisi yang muncul pada pengurangan bilangan biner (0-0, 1-0, 0-1, 1-1) dimana :

·      0 - 0 = 0

·      0 - 1 = 1 borrow 1 (jika masih ada angka di sebelah kiri)

·      1 - 0 = 1

·      1 - 1 = 0

Maksud dari borrow di sini ialah peminjaman satu digit angka dari  kolom sebelah yang memiliki nilai lebih besar agar hasil pengurangan mencukupi.

Contoh 1 :

  

Contoh 2 :

Berikut ini merupakan contoh pengurangan dalam bentuk Octal dan Hexadecimal, untuk memudahkan dapat melihat tabel konversi.

 

 D.    One’s and Two’s Complement

1.      One's Complement

Ketika merepresentasikan sebuah angka negatif dalam notasi one’s complement, sangatlah penting untuk mengetahui terlebih dulu jumlah bit yang digunakan untuk merepresentasikan suatu angka tersebut. Semisal, untuk merepresentasikan nilai -20 dalam notasi one’s complement melalui langkah-langkah sebagai berikut.

•  Pertama, mengubah dari desimal menjadi biner dengan nilai yang sama, contohnya (20) = (00010100)_2.
• Selanjutnya ialah membalik nilai dari tiap-tiap bit, 1 menjadi 0 dan 0 menjadi 1, contohnya (00010100)₂ dibalik menjadi (11101011)₂. Sehingga bila nilai -20 direpresentasikan dalam notasi one’s complement ialah menjadi (11101100)₂. 

2. Two's Complement

Notasi one's complement memang berhasil merepresentasikan suatu nilai minus, namun bukan berarti sempurna tanpa celah. Kelemahan fatal dari notasi one's complement ialah bila menggunakan metode ini maka akan didapati dua buah nilai 0, yakni 0 negatif dan 0 positif.

Oleh karena itu dikembangkan metode baru untuk mengatasi kelamahan tersebut, yakni two's complement. Secara garis besar hampir sama dengan one's complement, namun terdapat langkah tambahan yakni dengan menambahkan 1 bit pada LSB, Least Significant Bit. Berikut ini ialah contohnya:

• Pertama, mengubah dari desimal menjadi biner dengan nilai yang sama, contohnya, (20) = (00010100)₂
• Selanjutnya, membalik nilai tiap-tiap bit, 1 menjadi 0 dan 0 menjadi 1, contohnya, (00010100)2 dibalik menjadi (11101011)₂
• Langkah terakhir ialah dengan menambahkan satu bit pada LSB, (11101011)₂ ditambah 1 bit menjadi (11101100)₂
• Dengan demikian nilai -20 dengan menggunakan notasi two's complement ialah (11101100)₂.

Dalam sistem komputer, untuk membedakan suatu nilai itu positif atau negatif, digunakan flag register yakni SF, Signed Flag. Bila SF bernilai 1, maka nilai yang ditunjukkan ialah nilai negatif, sebaliknya ialah nilai positif. 

Terdapat trick yang lebih mudah dalam menggunakan notasi two's complement. Selain dengan cara yang telah disebutkan, ada satu cara yang lebih mudah dalam merepresentasikan nilai minus dengan two's complement. Kembali dengan contoh nilai -20.

•  Pertama, ubah dulu nilai desimal 20 ke nilai biner menjadi 00010100₂
•  Amati dari LSB, Least Significant Bit, bit paling kecil yang paling kanan
• Dari LSB cari bit pertama yang bernilai 1, bila tidak ditemukan geser ke bit di sebelah kirinya.
•  Dari 00010100₂, bit satu yang pertama ada pada bit yang ke-3 dari LSB
• Tulis saja tiga pertama bit tersebut (100) pada bagian notasi two's complement
•  Setelah ditemukan bit bernilai 1 yang pertama, selanjutnya semua bit yang ada di sisi kirinya dibalik nilainya
• Sehingga bit ke-4 sampai yang ke-8 diubah dari 00010₂ menjadi 11101₂
• Gabungan keduanya bit 1 sampai 3 dengan bit 4 sampai 8, menjadi 11101100₂

Pada dasarnya cara ini lebih sederhana, tulis saja nilai dari LSB hingga ditemukan bit bernilai 1 pertama, selanjutnya bit di sisi kirinya dibalik nilainya. 

E.     Gerbang Logika

Gerbang Logika atau dalam bahasa Inggris disebut dengan Logic Gate adalah dasar pembentuk Sistem Elektronika Digital yang berfungsi untuk mengubah satu atau beberapa Input (masukan) menjadi sebuah sinyal Output (Keluaran) Logis. Gerbang Logika beroperasi berdasarkan sistem bilangan biner yaitu bilangan yang hanya memiliki 2 kode simbol yakni 0 dan 1 dengan menggunakan Teori Aljabar Boolean.

Gerbang Logika yang diterapkan dalam Sistem Elektronika Digital pada dasarnya menggunakan Komponen-komponen Elektronika seperti Integrated Circuit (IC), Dioda, Transistor, Relay, Optik maupun Elemen Mekanikal.

Jenis Gerbang Logika dan Simbolnya

Terdapat 7 jenis Gerbang Logika Dasar yang membentuk sebuah Sistem Elektronika Digital, yaitu

1.      Gerbang AND

2.      Gerbang OR

3.      Gerbang NOT

4.      Gerbang NAND

5.      Gerbang NOR

6.      Gerbang X-OR (Exclusive OR)

7.      Gerbang X-NOR (Exlusive NOR)

Tabel yang berisikan kombinasi-kombinasi Variabel Input (Masukan) yang menghasilkan Output (Keluaran) Logis disebut dengan “Tabel Kebenaran” atau “Truth Table”.

Input dan Output pada Gerbang Logika hanya memiliki 2 level. Kedua Level tersebut pada umumnya dapat dilambangkan dengan :

§  HIGH (tinggi) dan LOW (rendah)

§  TRUE (benar) dan FALSE (salah)

§  ON (Hidup) dan OFF (Mati)

§  1 dan 0

Contoh Penerapannya ke dalam Rangkaian Elektronika yang memakai Transistor TTL (Transistor-transistor Logic),  maka 0V dalam Rangkaian akan diasumsikan sebagai “LOW” atau “0” sedangkan 5V akan diasumsikan sebagai “HIGH” atau “1”.

Berikut ini adalah Penjelasan singkat mengenai 7 jenis Gerbang Logika Dasar beserta Simbol dan Tabel Kebenarannya.

1.      Gerbang AND (AND Gate)

Gerbang AND memerlukan 2 atau lebih Masukan (Input) untuk menghasilkan 1 Keluaran (Output). Gerbang AND akan menghasilkan Keluaran (Output) Logika 1 jika semua masukan (Input) bernilai Logika 1 dan akan menghasilkan Keluaran (Output) Logika 0 jika salah satu dari masukan (Input) bernilai Logika 0. Simbol yang menandakan Operasi Gerbang Logika AND adalah tanda titik (“.”) atau tidak memakai tanda sama sekali. Contoh : Z = X.Y atau Z = XY.

 

2.      Gerbang OR (OR Gate)

Gerbang OR memerlukan 2 atau lebih Masukan (Input) untuk menghasilkan hanya 1 Keluaran (Output). Gerbang OR akan menghasilkan Keluaran (Output) 1 jika salah satu dari Masukan (Input) bernilai Logika 1 dan jika ingin menghasilkan Keluaran (Output) Logika 0, maka semua Masukan (Input) harus bernilai Logika 0.

Simbol yang menandakan Operasi Logika OR adalah tanda Plus (“+”). Contohnya : Z = X + Y.

3.      Gerbang NOT (NOT Gate)

Gerbang NOT hanya memerlukan sebuah Masukan (Input) untuk menghasilkan hanya 1 Keluaran (Output). Gerbang NOT disebut juga dengan Inverter (Pembalik) karena menghasilkan Keluaran (Output) yang berlawanan (kebalikan) dengan Masukan atau Inputnya. Berarti jika kita ingin mendapatkan Keluaran (Output) dengan nilai Logika 0 maka Input atau Masukannya harus bernilai Logika 1. Gerbang NOT biasanya dilambangkan dengan simbol minus (“-“) di atas Variabel Inputnya.

4.      Gerbang NAND (NAND Gate)

Arti NAND adalah NOT AND atau BUKAN AND, Gerbang NAND merupakan kombinasi dari Gerbang AND dan Gerbang NOT yang menghasilkan kebalikan dari Keluaran (Output) Gerbang AND. Gerbang NAND akan menghasilkan Keluaran Logika 0 apabila semua Masukan (Input) pada Logika 1 dan jika terdapat sebuah Input yang bernilai Logika 0 maka akan menghasilkan Keluaran (Output) Logika 1.

  

5.      Gerbang NOR (NOR Gate)

Arti NOR adalah NOT OR atau BUKAN OR, Gerbang NOR merupakan kombinasi dari Gerbang OR dan Gerbang NOT yang menghasilkan kebalikan dari Keluaran (Output) Gerbang OR. Gerbang NOR akan menghasilkan Keluaran Logika 0 jika salah satu dari Masukan (Input) bernilai Logika 1 dan jika ingin mendapatkan Keluaran Logika 1, maka semua Masukan (Input) harus bernilai Logika 0.

6.      Gerbang X-OR (X-OR Gate)

X-OR adalah singkatan dari Exclusive OR yang terdiri dari 2 Masukan (Input) dan 1 Keluaran (Output) Logika. Gerbang X-OR akan menghasilkan Keluaran (Output) Logika 1 jika semua Masukan-masukannya (Input) mempunyai nilai Logika yang berbeda. Jika nilai Logika Inputnya sama, maka akan memberikan hasil Keluaran Logika 0.

7.      Gerbang X-NOR (X-NOR Gate)

Seperti Gerbang X-OR,  Gerban X-NOR juga terdiri dari 2 Masukan (Input) dan 1 Keluaran (Output). X-NOR adalah singkatan dari Exclusive NOR dan merupakan kombinasi dari Gerbang X-OR dan Gerbang NOT. Gerbang X-NOR akan menghasilkan Keluaran (Output) Logika 1 jika semua Masukan atau Inputnya bernilai Logika yang sama dan akan menghasilkan Keluaran (Output) Logika 0 jika semua Masukan atau Inputnya bernilai Logika yang berbeda. Hal ini merupakan kebalikan dari Gerbang X-OR (Exclusive OR).

 

 REFERENSI

http://sistem-bilangan.blogspot.co.id/p/materi.html

http://laksamana-embun.blogspot.co.id/2010/01/sistem-bilangan.html

http://rifkyzz-inside.blogspot.co.id/2013/04/penjumlahan-pengurangan-bilangan-biner.html

http://otomasiindustri.webs.com/

http://lang8088.blogspot.co.id/2011/07/twos-complement.html

http://teknikelektronika.com/pengertian-gerbang-logika-dasar-simbol/